بسم الله
 
EN

بازدیدها: 551

زبان حقيقت و حقيقت زبان- قسمت سوم

  1392/11/9
قسمت قبلي

3. فرگه: ساختار منطقي

الف) رياضيات و زبان رياضي


نحوه‌ي ورود زبان به تفکر فرگه و همچنين نتايج و دستاوردهاي وي از اين تفکر، با آنچه درباره‌ي مور گذشت تفاوتهاي چشمگيري دارد. فرگه در آغاز فعاليتهاي تحقيقاتي خويش در رياضيات به سرعت به سوي سنتي گراييد که در آن دلمشغولي اصلي رياضيدانان را يافتن بنيادي سازگار و رها از هرگونه تناقض براي مبحث «آناليز» (يا نظريه‌ي اعداد حقيقي) تشکيل مي‌داد. 

مبحث آناليز در اواخر قرن هفدهم ميلادي مستقلاً توسط نيوتن و لايب‌نيتز با عنوان کردن کمياتي «بي‌نهايت ريز» وارد مرحله‌ي نويني از تکامل خود شد. انگيزه‌ي لايب‌نيتز در روي آوردن به اين مبحث (متعاقب مسائلي که در آثار پاسکال مطرح شده بودند) کاملاً رياضي بود و يافتن روشي براي محاسبه‌ي مماس بر يک منحني و مساحت زير آن در دستور کار وي قرار داشت. 

هدف نيوتن، از طرف ديگر، جنبه‌اي کاملاً فيزيکي داشت و معطوف به يافتن روشي رياضي بود تا از طريق آن بتواند سرعت و شتاب لحظه‌اي يک متحرک را محاسبه کند. زباني که هريک از اين متفکران براي بيان نظريه‌ي خويش ابداع کرده بودند با يکديگر تفاوت داشت، ليکن محتوايي که توسط هريک از اين دو زبان بيان مي‌شد کاملاً معادل هم بود. زبان ابداعي لايب‌نيتز بر زبان نيوتن ارجحيت داشت (به‌طوري که هنوز هم در دوره‌هاي مقدماتي آناليز مفاهيم مشتق و انتگرال توسط علائم ابداعي لايب‌نيتز معرفي مي‌شوند)، به همين جهت نيز مکانيک نيوتن را مي‌شد عيناً به اين زبان بهتر بيان کرد. موفقيتهاي شگرفي که مکانيک نيوتن به سرعت در توضيح و پيش‌بيني دقيق پديده‌هاي زميني و سماوي پيدا کرد موجب شد تا حيثيت و اعتبار عظيمي براي نظريه‌ي رياضي نيوتن و لايب‌نيتز فراهم آيد، به‌طوري که در اوايل قرن هجدهم ميلادي، رياضيدان معتبري در اروپا وجود نداشت که به نحوي شيفته و مجذوب نظريه‌ي جديد نشده باشد.

در سال 1719 ميلادي، اسقف جرج بارکلي (فيلسوف شهير تجربه‌گراي ايرلندي) در رساله‌اي که تحت عنوان تحليلگر (The Analyst) منتشر ساخت، ضربات مهلکي را بر پايه‌ و اساس نظريه‌ي جديد وارد آورد. بارکلي رياضيدان نبود، ليکن طي يک تجربه‌ي تلخ شخصي آثار و عواقب حملاتي را که پيروان فيزيک جديد با تکيه بر توفيقات آن بر اساس اعتقادات مذهبي وارد مي‌آوردند شخصاً حس کرد. به همين جهت نيز بر آن شد تا خود را با اسرار نظريه‌ي رياضيي که مبناي اين فيزيک را تشکيل مي‌داد آشنا سازد. نتيجه‌ي اين آشنايي کشف و افشاي دقيق و مدلل [ساختن] تناقضاتي منطقي بود که در بطن اين بنا نهفته بود. 

اساس اين تناقضات را از يک طرف تعريف کميات «بي‌نهايت ريز» به عنوان کمياتي تشکيل مي‌داد که در عين ناچيز بودن هيچ‌گاه مقدار صفر نمي‌پذيرند. از طرف ديگر، در برهانهاي مختلفي که با استفاده از اين کميات طرحريزي مي‌شد، در مواقعي که مصلحت ايجاب مي‌کرد از آنها چشمپوشي شود، مقدار صفر براي آنها منظور مي‌گرديد. طي حدود صد و پنجاه سال پس از انتشار اين رساله، تناقضاتي را که بارکلي موشکافانه کشف کرده بود، قدرت فکري بزرگترين رياضيدانان اروپا را به مبارزه طلبيد. از يک سو مبحث آناليز ابزاري را در اختيار رياضيدانان و فيزيکدانان قرار مي‌داد که توانمندي آنها در حل مسائل مختلف و کسب نتايج بديع در تاريخ علم تا آن زمان بي‌سابقه بود. 

از سوي ديگر، وجود تناقض در مباني اين مبحث، گرچه به نظر مي‌رسيد براي فيزيکدانان قابل تحمل تلقي نمي‌شود، نمي‌توانست اذهان رياضيدانان را آسوده بگذارد. در طول قرن هجدهم ميلادي، غولهاي رياضي چون اويلر، دالامبر، لاگرانژ و گاوس، هريک به انحاي مختلف سعي فراوان در دور زدن اين تناقضات و بسط نتايج نظريه‌ي جديد مبذول داشتند. ليکن با وجود حصول نتايجي جديد و قدرتمند در درون اين نظريه، توفيقي در منزه کردن بنيان آن از تناقض نيافتند. در اوايل قرن نوزدهم ميلادي اولين قدمهاي مؤثر در جهت صحيح توسط کوشي برداشته شد و حدود پنجاه سال بعد از آن اولين نظريه‌ي منسجم و دقيق و عاري از هرگونه تناقض توسط وايراشتراس [Karl Weierstrass] [2] تدوين گرديد.

ب) رياضيات و منطق

 دو نکته در اين روند حائز اهميتي اساسي است. يکي اينکه کوشش محققان در پي‌ريزي مباني استوار براي مبحث آناليز توسط انگيزه‌اي که خصيصه‌اي به‌وضوح منطقي داشت دامن‌زده مي‌شد. در هر مرحله از اين روند نيز ملاحظاتي صرفاً منطقي در سنجش اعتبار دستاوردهاي يک رياضيدان در اين خصوص دخالت داشتند. 

نکته‌ي ديگر اينکه نظريه‌اي که بالاخره به دست وايراشتراس طرحريزي شد، به شکل بي‌سابقه‌اي (در رياضيات) کيفيتي صوري داشت. بدين معنا که در اين نظريه تمامي مواضعي که در کوششهاي گذشته تنها بر اساس شهود يک يا چند رياضيدان توجيه مي‌شدند از ميان برداشته شده، جاي خود را به مواضعي دادند که براي هريک اثباتي دقيق و باصلابت ارائه شده بود. 

اين دستاورد تنها به قيمت جايگزين کردن «تصاوير» به‌ظاهر بديهي هندسي يا «تصورات شهودي» درباره‌ي «ماهيت کميات» با تعاريف يا اصول موضوعه‌اي کاملاً انتزاعي تمام شد که از هرگونه تعبير يا تفسير مشخصي فارق و مبرّا بودند. وضع مشابهي نيز به‌تدريج در هندسه پديد مي‌آمد. به دنبال کوشش براي اثبات اصل موضوع پنجم اقليدس (اصل توازي) و کشف هندسه‌هاي غيراقليدسي، به نظر مي‌رسيد که بسط و توسعه‌ي تحقيقات در مباني هندسه نيز جهتي مشابه را به سوي کمال «صوري شدن» طي ‌مي‌کند. اين نظر بالاخره با تکميل تحقيقات کانتور و پئانو در رياضيات و انتشار دستاوردهاي هيلبرت در هندسه کاملاً تأييد شد.

نظريه‌هاي صوري، به علت منتزع بودن از هر تعبير و تفسير مشخص، مبيّن هويتي به نام «ساختار» در مبحثي تلقي مي‌شوند که هدف تبيين مباني آن را دنبال مي‌کنند. تصوري خام و نادقيق ولي گويا از اين هويت را مي‌توان با تشبيه آن به اسکلتي «استخواني» به دست آورد که با افزودن «گوشت و پوست» از طريق تعبير و تفسير به آن محتوا پيدا کرده موجوديتي مشخص به شکل مجموعه‌اي از جملات معنادار پيدا مي‌کند. تا اواسط قرن نوزدهم ميلادي چنين خصوصيتي تنها در انحصار منطق به حساب مي‌آمد.  

تنها نظريه‌اي در منطق نيز که به شکلي کاملاً صوري مدون‌شده، در حقانيت آن مناقشه‌اي جدي وجود نداشت، نظريه‌ي قياس [syllogism] ارسطويي بود. طبق اين نظريه، قالب بنيادي هر حکم خبري، يا ساختار منطقي آن را سه جزءِ موضوع و محمول و رابط شکل مي‌دهند به‌طوري که با قرار دادن الفاظ معنادار، هريک از نوع مناسب، در درون اين اجزاء، جمله‌اي مشخص و معنادار حاصل مي‌شود. بر اين مبنا، قواعدي در اين نظريه وضع مي‌شوند که با به کار بستن آنها مي‌توان در مورد هر مجموعه‌ي متشکل از سه جمله، بدون در نظر گرفتن معناي هريک، تعيين کرد که آيا تشکيل استدلالي معتبر مي‌دهد يا نه. بدين ترتيب امر تشخيص و تفکيک استدلالهاي معتبر از نامعتبر در هر مبحثي به نحوي متقن و مناقشه‌ناپذير صورت گرفته مقام منطق به عنوان وسيله‌اي اغماض‌ناپذير در زمينه‌هاي مختلف معرفتي در جهت دستيابي به حقيقت تثبيت مي‌گردد.

نقش اجتناب‌ناپذير منطق در فعاليتهاي معرفتي ايجاب مي‌کند که نظريه‌اي که به عنوان نظريه‌ي درست منطقي اختيار مي‌شود نوع زباني را که مناسب حقيقت‌جويي است تعيين کند. بنابراين، چنانچه نظريه‌ي قياس به عنوان نظريه‌ي درست منطقي اختيار شود، زبان حقيقت بالضروره بايد زباني باشد که توانايي انعکاس ساختار موضوع - محمولي احکام را داشته باشد. زبانهاي عادي از تيره‌ي هند و اروپايي براي بسياري از جملات خبري خود اين قابليت را تضمين مي‌کنند. اساساً مي‌توان گفت که نظريه‌ي موضوع - محمولي بودن ساختار احکام في‌الواقع «قبايي» است که مناسب «اندام» اين‌گونه جملات «دوخته» شده است.) ليکن در اين زبانها جملاتي نيز وجود دارند که بيان‌کننده‌ي نسبتها هستند و لااقل در ظاهر امر تن به اين قيد نمي‌دهند. بنابراين براي قرار گرفتن اين‌گونه زبانها در مقام زبان حقيقت يا لازم است به نحوي نسبتها به «محمولات» تحويل شوند و يا بايد واقعي بودن نسب به عنوان مصاديق مفاهيم نسبي (مانند «بزرگتر»، «بلندتر»، «سنگينتر» و امثالهم) انکار گردد. 

در طول بيش از بيست قرني که نظريه‌ي قياس در پهنه‌ي منطق حکمروايي بلامنازع داشت، اين شقوق هردو به انحاي مختلف آزمون شدند. با وجود اينکه هيچ‌گاه نتايج درخشاني از اين آزمونها به دست نيامد، اين امر مانع از اين نشد که فلاسفه، طي قرون متمادي و تا اواخر قرن نوزدهم ميلادي، بالاجماع نظريه‌ي قياس را تنها نظريه‌ي درست درباره‌ي ساختار منطقي احکام و اعتبار استدلالات بدانند.

از بدو تدوين نظريه‌ي قياس بر منطقدانان معلوم بود که زبان رياضيات از حيث قابليت مذکور با زبانهاي عادي تفاوتهايي بنيادي دارد. 
اولاً احکام و قضاياي نظريه‌هاي مختلف در رياضيات را (من جمله هندسه) نمي‌توان تماماً در قالب موضوع - محمولي گنجاند و ثانياً همه‌ي براهين رياضي را (من جمله براهيني که نتايج آنها را قضايايي عميق و مهم تشکيل مي‌دادند) نمي‌توان در مجموعه‌هاي سه جمله‌اي (يا مجموعه‌هايي از اين مجموعه‌ها خلاصه کرد. تا مدتهاي مديد اين امر موجباتي براي نگراني منطقدانان فراهم نمي‌کرد، زيرا مي‌توانستند رياضيات را، نه به عنوان شاخه‌اي از معرفت که حقايقي را مکشوف مي‌سازد، بلکه به عنوان مشغولياتي ذهني (از نوع بازيهاي فکري مانند شطرنج) تلقي کنند. 

اين ديدگاه به صورت سنتي غالب در فرهنگ يونان باستان پس از فروپاشي مکتب فيثاغوريان تثبيت شد و سپس به فرهنگ اروپا در قرون وسطي منتقل گرديد. در اواسط قرن هفدهم ميلادي اين سنت توسط گاليله، هم صريحاً و هم عملاً، مورد حمله قرار گرفت. سخنان معروف وي در رساله‌اي تحت عنوان عيارسنج (Galileo [1623]) به‌وضوح نظر وي را درباره‌ي لزوم جايگزيني زبان عادي با زبان رياضي در مقام زبان حقيقت بازگو مي‌سازد: «فلسفه متني است که در کتابي عظيم، يعني عالم، به رشته‌ي تحرير درآمده است؛ عالمي که پيوسته در مقابل ديدگان ما گسترده است. ليکن اين کتاب را نمي‌توان فهميد مگراينکه نخست زباني را که به آن نوشته شده است فرا گرفت و حروفي را که متن از آنها انشا گرديده است، خواند. اين کتاب به زبان رياضي نوشته شده و حروف متن آن را مثلثها، دواير و ساير اشکال هندسي تشکيل مي‌دهند. بدون اينها امکان درک حتي يک کلمه از مفاد اين متن براي بشر ميسر نيست؛ بدون اينها انسان به گمگشته‌اي مي‌ماند که ميان راهروهاي تو در تو و در هم پيچيده، در تاريکي سرگردان است» (Drake [1957] 237-38).

گاليله آگاه بود که تبعات نظرش درباره‌ي ارزش معرفتي رياضيات مستقيماً کفايت نظريه‌ي قياس را به عنوان ابزاري مؤثر در حصول معرفت به زير سؤال مي‌کشد. اين آگاهي در ميان سطور کتاب جاوداني وي (Galileo [1632]) به‌صراحت مشهود است. وي اولين قدمهاي بنيادي را نيز عملاً با استفاده از ابزار و براهين رياضي براي نظريه‌پردازي درباره‌ي مقوله‌ي حرکت در اثر معروف خود (Galileo [1638]) برداشت و بدين ترتيب پايه‌هاي علم نوين فيزيک را پي‌ريزي کرد. پيگيري نوآوري گاليله توسط نيوتن به پديد آمدن نظريه‌اي جامع و اعجاب‌انگيز در فيزيک به زبان رياضي شد که در امر توضيح و پيش‌بيني حرکات اجسام زميني و سماوي توأماً توفيقات چشمگيري به دست آورد. ليکن نه گاليله، نه نيوتن و نه ساير متفکراني که به کارآيي زبان رياضي در حصول معرفت از طبيعت عميقاً اعتقاد داشتند، هيچ‌يک نتوانستند (و يا نخواستند) قدمي در جهت کشف نظريه‌اي منطقي بردارند که زبان جديد حقيقت لزوم جايگزيني نظريه‌ي قياس را با آن مطرح ساخته بود. وجود پايه‌هاي متزلزل و مشکوک در مباني اين زبان جديد و عدم توفيق بزرگترين اذهان رياضي جهان در ترميم اين وضع براي مدتي حدود صد و پنجاه سال، به نظر نگارنده عامل اصلي بي‌توجهي به لزوم تحول در منطق را تشکيل مي‌دهد. 

وجود چنين وضعيتي، عدم عنايت منطقدانان اروپا را به لزوم يافتن نظريه‌اي جديد در منطق و ادامه‌ي پايبندي ايشان را به نظريه‌ي قياس (به عنوان تنها نظريه‌ي موجه منطقي) کاملاً توجيه مي‌کند. توفيق وايراشتراس در رفع اين نقيصه‌ي بنيادي در رياضيات، از يک سو نقطه‌ي چرخشي را در اين روند به وجود آورد. بعد از وي ديگر دليلي موجه براي طفره رفتن از قبول زبان رياضي به عنوان زبان واقعي حقيقت وجود نداشت. از سوي ديگر، بسط و توسعه‌ي روزافزون روشهاي رياضي براي نظريه‌پردازي در زمينه‌هاي ديگر علم فيزيک، مانند حيطه‌ي گازها، حرارت، الکتريسته و مغناطيس و توفيقات چشمگير إعمال اين روشها، دلايل فزاينده و پرقدرت ديگري را مبني بر وجود مناسبتي عميق ميان رياضيات و حقيقت مطرح مي‌ساخت.

بدين ترتيب در دهه‌هاي پاياني قرن نوزدهم ميلادي دو موضوع به‌طور جدي در دستور کار تحقيقات منطقي قرار گرفت. موضوع اول مربوط به دلايل محکم و موجهي مي‌شد که حکايت از نقصان و نارسايي نظريه‌ي قياس در تبيين ساختار منطقي احکام و مباني استنتاجهاي معتبر مي‌کردند. ديگر امکان نداشت سرسختي احکام و براهين رياضي را در تن دادن به قالب و قواعدي که نظريه‌ي قياس براي تفکر الزام‌آور قلمداد مي کرد با بهانه‌هايي چون فقدان ارزش معرفتي در تفکرات رياضي، تهديدي جدي براي حقانيت اين نظريه به حساب نياورد. 

اين تهديد در عين حال ضرورتِ يافتن نظريه‌اي جامع در منطق را مطرح ‌مي‌ساخت که بتواند در بر گيرنده‌ي کليه‌ي زمينه‌هاي تفکر درباره‌ي حقايق امور باشد. موضوع دوم مربوط به کيفيت تماماً صوري نظريه‌هاي بنيادي در رياضيات بود که مسئله‌ي تعيين نوع قرابت کل رياضيات را با منطق مطرح مي‌ساخت. درباره‌ي هردو اين موضوعات، تحقيقات فرگه و راسل مستقل از يکديگر به نتايج مشابهي رسيدند. رأي اين دو متفکر درباره‌ي نوع قرابت رياضيات با منطق را مي‌توان اجمالاً در يک جمله خلاصه کرد: رياضيات عين منطق است. 

اين بدان معناست که: (1) اصول موضوعه و قضاياي نظريه‌هاي رياضي هريک بيان‌کننده‌ي حقيقتي هستند، و (2) حقايق رياضي همان حقايق منطقي‌اند. اين رأي درباره‌ي رابطه‌ي رياضيات و منطق به «منطق‌گرايي» (logicism) شهرت دارد و ما در اينجا وارد بحث درباره‌ي آن نمي‌شويم. در مورد کليترين شکل براي ساختار منطقي اين احکام خبري همين قدر کافي است در اينجا گفته شود که هم فرگه و هم راسل مبناي اين شکل را در رابطه‌ي تابع و متغير يافتند. اين رابطه اساس نظريه‌ي تکميل‌شده‌ي آناليز را تشکيل مي‌دهد و با تمسک به آن، همراه با (1) تعريف ادواتي که به نام «سور» (Quantifier) اشتهار يافته‌اند، (2) تعريف توابعي که آنها را «توابع حقيقتي» (truth functions) [3] نام داده‌اند و (3) مجموعه‌اي از اسامي خاص، مي‌توان ساختار منطقي تمامي جملات معنادار خبري را در هر زباني که براي حقيقت‌جويي کفايتي دارد، معين کرد.[4]



نويسنده:  يوسف علي آبادي






برای دادن نظر، باید به صورت رایگان در سایت عضو شوید. [عضویت در سایت]



مشاوره حقوقی رایگان